1) HAREKET

1.1. Temel kinematik terimler

Konum (r)

• Tanım: Bir parçacığın uzaydaki yerini belirleyen vektör. 2B: r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩; 3B: ⟨x,y,z⟩.
• Birim: m.
• Özellik: Mutlak değil, seçilen referans çerçevesine göre tanımlıdır.

Yer değiştirme (Δr)

• Tanım: Son konum eksi başlangıç konumu, yönlü vektör.
• Birim: m.
• Özellik: Yalnızca başlangıç ve son konuma bağlıdır; izlenen yolun ayrıntılarını içermez.

Yol (s)

• Tanım: Gidilen toplam mesafe (skaler).
• Birim: m.
• Fark: Daire çizip başladığın noktaya dönersen s>0, Δr=0.

Hız (v)

• Tanım: Anlık hız v(t) = dr/dt; bir vektördür.
• Birim: m/s.
• Sürat: |v| büyüklüğüdür, yönsüzdür. Ortalama hız = Δr/Δt; ortalama sürat = s/Δt.

İvme (a)

• Tanım: a(t) = dv/dt = d²r/dt².
• Birim: m/s².
• Anlam: Hızın büyüklüğü ve/veya yönünün değişme oranı. a=0 ise hız sabit (Newton I).

Türev dereceleri

• Jerk (j) = da/dt (m/s³). Mekatronik ve konfor analizinde önemlidir (ani ivme değişimleri rahatsızlık verir).

Referans çerçevesi

• Ataletli çerçeveler: Dış net kuvvet 0 ise hız sabittir.
• Ataletsiz çerçeveler: Ek “sanal” kuvvetler gerekir (merkezkaç, Coriolis, Euler).
• Bağıl hız: v(A/B) = v(A) − v(B).

1.2. Tek boyutlu (1B) hareket: sabit ivmeli kinematik

Varsayım: a = sabit.

Denklemler:

1. v = v₀ + a t
2. x = x₀ + v₀ t + (1/2) a t²
3. v² = v₀² + 2 a (x − x₀)

Fiziksel yorum: 2) denklemi enerji teoremiyle uyumludur: sabit F altında yapılan iş W = F Δx = m a Δx = Δ(½ m v²).

Örnek 1 – Frenleme mesafesi

v₀ = 25 m/s, a = −6.0 m/s² → durma mesafesi: 0 = v₀² + 2 a Δx ⇒ Δx = v₀²/(−2a) = 625/12 ≈ 52.1 m.

Durma süresi: t = −v₀/a ≈ 4.17 s.

Örnek 2 – Serbest düşme (hava direnci ihmal)

v(t) = v₀ − g t, y(t) = y₀ + v₀ t − ½ g t². 1 s’de v ≈ −9.81 m/s, y ≈ −4.9 m (v₀=0 ise).

1.3. İki boyutlu (2B) ve eğik atış

Bileşenlere ayırma

• x-y bağımsızdır (kuvvetler ayrılabiliyorsa).
• Eğik atışta: x’de ivme 0; y’de ivme −g.

Sonuçlar (hava direnci yok):

• Uçuş süresi: T = 2 v₀ sinθ / g
• Menzil: R = v₀² sin(2θ) / g
• Maksimum yükseklik: h_max = v₀² sin²θ / (2g)

Örnek 3 – En iyi menzil

v₀ sabit ise menzili maksimize eden açı θ = 45°. Direnç varsa optimum açı 45°’ten küçüktür.

1.4. Dairesel hareket

Tanımlar

• Açısal konum θ (rad), açısal hız ω = dθ/dt, açısal ivme α = dω/dt.
• Doğrusal hız v = ω r.
• Merkezcil ivme a_c = v²/r = ω² r (merkeze doğrudur).
• Tangansiyel ivme a_t = α r (hız büyüklüğünü değiştirir).

Örnek 4 – Virajda tutunma

Lastik–yol sürtünmesi F_max = μ N = μ m g.

Merkezcil gereksinim m v² / r ≤ μ m g → v ≤ √(μ g r).

r=50 m, μ=0.8 ⇒ v_max ≈ √(0.8·9.81·50) ≈ 19.8 m/s (≈ 71 km/h).

1.5. Newton’un yasaları ve serbest cisim diyagramı (SCD)

• I: Net kuvvet 0 → v sabit.
• II: ΣF = m a (vektörel).
• III: Etki = −Tepki (farklı cisimler üzerinde).

  SCD yöntemi: Cismi izole et; tüm kuvvetleri (ağırlık, normal, sürtünme, yay, itme/çekme) doğru yön ve büyüklükte çiz. Çoğu çözüm hatası SCD eksikliğinden doğar.

1.6. Sürtünme ve hava direnci

Kuru sürtünme

• Statik: |f_s| ≤ μ_s N (hareket yokken).
• Kinetik: f_k = μ_k N (kızaklama).

  Genelde μ_s > μ_k.

  Enerji etkisi: Sürtünme negatif iş yapar; ısıya dönüşür.

Hava direnci

• Düşük hız: F_d ≈ b v (lineer).
• Yüksek hız: F_d ≈ ½ ρ C_d A v² (kuadratik).

  Terminal hız: m g = F_d olduğunda ivme 0 olur.

  Örnek (kuadratik): v_t = √(2 m g / (ρ C_d A)).

2) MOMENTUM

2.1. Çizgisel momentum (p)

Tanım: p = m v (vektör).

Birim: kg·m/s (eşdeğer N·s).

Anlam: Hareketi “durma inadı”. Aynı hızda ağır cisim, hafiften daha büyük momentum taşır.

Zamana göre değişim: dp/dt = m a = ΣF. Dış net kuvvet yoksa sistem momentumu sabittir (korunum).

2.2. Sistem–dış kuvvet–iç kuvvet ayrımı

Çok parçalı sistemde iç kuvvetler çiftler hâlinde eşit ve zıt olduğundan toplamı 0’dır (Newton III). Bu nedenle yalnız dış kuvvetler toplam momentumu değiştirir. Çarpışmalarda sistem “iki cisim” seçilirse, kısa süreli temas kuvvetleri iç kuvvet sayılır ve toplam p korunur.

2.3. İtme (J) – kısa süreli kuvvetler

Tanım: J = ∫ F(t) dt (vektör).

Birim: N·s (kg·m/s ile aynı).

İlişki: J = Δp.

Pratik: Airbag, temas süresini büyüterek aynı Δp’yi daha küçük F_ort ile sağlar.

Örnek – Darbe:

8 ms süren çarpışmada hız 15 m/s’den 0’a düşsün, m=70 kg. Δp = 70×15 = 1050 kg·m/s.

F_ort = Δp/Δt = 1050/0.008 ≈ 131 kN. Süreyi 16 ms’ye uzatmak F_ort’u ≈ 65.6 kN’a düşürür.

2.4. Çarpışmalar ve “yenilenme katsayısı” (e)

Tanım: e = (ayrılma hızı)/(yaklaşma hızı); 0 ≤ e ≤ 1.

• e=1: Tam esnek → p ve kinetik enerji korunur.
• e=0: Tam esnek olmayan → p korunur, KE minimum; yapışma.
• 0<e<1: Kısmen esnek olmayan.

1B formüller (yararlı özet):

• Momentum: m₁ v₁i + m₂ v₂i = m₁ v₁f + m₂ v₂f
• e tanımı: v₂f − v₁f = −e (v₂i − v₁i)

  Bu iki denklem iki bilinmeyenli v₁f, v₂f’yi verir.

Örnek – Kısmen esnek 1B:

m₁=1 kg, m₂=2 kg, v₁i=5 m/s, v₂i=0, e=0.5.

Denklemleri çöz: v₁f ≈ −0.83 m/s, v₂f ≈ 2.08 m/s.

Başlangıç KE = ½·1·25 = 12.5 J; son KE ≈ ½·1·0.69 + ½·2·4.33 ≈ 0.35 + 4.33 ≈ 4.68 J.

Kaybın nedeni: deformasyon/ısı/ses.

2.5. Kütle merkezi (CM) ve çerçeve seçimi

CM hızı: V_CM = (Σ m_i v_i)/(Σ m_i).

Özellik: CM çerçevesinde toplam momentum 0’dır; çarpışma simetrik görünür. Sonuçları CM’de bulup laboratuvar çerçevesine çevirmek çoğu zaman cebiri basitleştirir.

Örnek – CM dönüşü:

Eşit kütleli iki disk karşılıklı 3 m/s ile geliyor. CM’de hızlar ±3 m/s; esnek çarpışmada hız büyüklükleri korunur ve çıkış yönleri 90° ayrılabilir. Laboratuvar çerçevesine dönüşte, her disk farklı açılarla sapar ama p toplamı yine 0’dır.

2.6. Açısal momentum (L)

Tanım: L = r × p (noktasal parçacık için). Rijit cisim için L = I ω (eksene göre).

Birim: kg·m²/s.

Kural: dL/dt = τ_dış (dış tork). Dış tork yoksa L korunur.

Spin + yörünge ayrımı:

• Yörüngesel L_orb = R_CM × (M V_CM).
• Spinsel L_spin = I_CM ω.

  Toplam L = L_orb + L_spin (seçilen noktaya bağlıdır).

Örnek – Buz patencisi:

Kolları açıp kapama: I azalınca (kollar içe), L sabitse ω artar → daha hızlı döner.

3) GÜÇ

3.1. İş (W) ve enerji ilişkisi

İş: W = ∫ F · ds (skaler).

Birim: Joule (J) = N·m.

İş–enerji teoremi: W_net = ΔE_k.

Yorum: Bir kuvvet hıza dikse (ör. merkezcil), iş 0’dır; hız büyüklüğü değişmez, yön değişir.

3.2. Güç (P)

Anlık güç: P = dW/dt = F · v (doğrusal), P = τ ω (dönel).

Birim: Watt (W) = J/s.

Ortalama güç: W/Δt.

Motor gücü vs hız: Yük (sürükleme, yuvarlanma, eğim) bilinmeden “şu güç şu hızı yapar” denemez; güç, karşı kuvvetlere karşı hızın sürdürülebilirliğini belirler.

Örnek – Aerodinamik sürükleme ile seyir gücü

F_drag ≈ ½ ρ C_d A v². ρ=1.2 kg/m³, C_d A=0.7 m², v=30 m/s: F≈0.5·1.2·0.7·900 ≈ 378 N.

Sadece sürüklemeyi karşılayan güç: P = F v ≈ 11.3 kW (yuvarlanma ve eğimi eklemek gerekir).

Örnek – Vinç işleri

500 kg yükü sabit v=0.5 m/s ile kaldır: F=mg≈4905 N → P≈2.45 kW. Verim 0.8 ise giriş ≈ 3.06 kW.

4) TORK

4.1. Torkun tanımı ve yorumu

Tanım: τ = r × F.

Büyüklük: τ = r F sinθ.

Birim: N·m (enerjiyle sayısal olarak aynı, fakat fiziksel anlamı farklı).

Kuvvet kolu: r⊥ = r sinθ, yani eksene dik uzaklık. Aynı F, daha uzun kolla daha büyük tork üretir.

Çift (couple): Eşit büyüklükte zıt yönlü iki paralel kuvvet → net kuvvet 0, net tork ≠ 0. Kapı kolunu iki elle zıt yönlü çekmek gibi.

4.2. Dönme dinamiği

Newton’un dönme formu: Στ = I α.

Eylemsizlik momenti: I = ∑ m_i r_i² (kg·m²). Kütle uzaklaştıkça I hızla büyür.

Paralel eksen teoremi: I = I_CM + M d².

Örnek – Anahtarla somun

r=0.25 m, F=120 N → τ=30 N·m. Aynı somunu 0.10 m anahtarla çözmek için ~300 N gerekir.

Örnek – Kapı

Koldan 0.8 m uzakta 30 N: τ=24 N·m. 0.4 m’den aynı tork için 60 N gerekir.

4.3. Tork–güç bağı

Sabit devir: P = τ ω.

• Yük artarsa gerekli τ artar; aynı ω için P artar.
• Otomotivde Vites küçültmek ω’yı yükseltir, motorun daha yüksek P üretebildiği bölgeye taşır; tekerleğe iletilen çekiş kuvvetini artırır (dişli oranları devreye girer).

5) BİRLİKTE ANLAMAK: enerji–momentum–tork–güç ağı

• İtme–momentum: Δp = ∫ F dt (kısa sürede büyük kuvvetler)
• İş–enerji: ΔE_k = ∫ F · ds (yol boyunca yapılan iş)
• Dönel karşılıklar: ΔL = ∫ τ dt, ΔE_rot = ∫ τ dθ
• Güç: P = F·v ve P = τ ω (enerjinin akış hızı)

Bu eşlenik çiftler problemi doğrusal mı/dönel mi olduğuna göre aynı şablonla çözdürür.

6) UZUN ÖRNEKLER

6.1. Kapsamlı araç senaryosu (hareket + güç + tork)

Veriler: m=1500 kg, düz yolda 100 km/h (27.78 m/s) sabit hız.

• Yuvarlanma direnci ≈ 0.012 m g → F_roll ≈ 0.012·1500·9.81 ≈ 177 N.
• Sürükleme: ρ=1.2, C_d A=0.7 → F_drag ≈ 0.5·1.2·0.7·(27.78)² ≈ 325 N.
• Toplam direnç ≈ 502 N.
• Gerekli güç: P = F v ≈ 502·27.78 ≈ 13.9 kW (sadece tutunmak için).

  İvmelenmek için ek güç gerekir.

  Şanzıman verimi 0.9 ise motordan istenen ≈ 15.4 kW.

  Teker yarıçapı 0.3 m, aynı hızda ω_teker = v/R ≈ 92.6 rad/s.

  Aktarılan tork: τ = P/ω ≈ 13 900/92.6 ≈ 150 N·m (tekerde). Dişli oranlarıyla motor torkuna dönüştürülür.

6.2. 2B çarpışma (momentum çok bileşenli)

Disk A: m=0.2 kg, v_A=(3,0) m/s. Disk B: m=0.2 kg, v_B=(0,0). Esnek çarpışma.

Sonra A’nın hızı v_A’=(1.732, 1.0) m/s (30° yönünde, 2 m/s).

Başlangıç p₀=(0.6,0) kg·m/s.

Son p_A’ = m v_A’ = (0.346, 0.200).

B’nin son momentumu p_B’ = p₀ − p_A’ = (0.254, −0.200).

v_B’ = p_B’/m = (1.27, −1.00) m/s.

Enerji denetimi: E_k,i = ½·0.2·3² = 0.9 J.

E_k,f = ½·0.2·|v_A’|² + ½·0.2·|v_B’|² = 0.4 + 0.5 ≈ 0.9 J (korundu).

Yorum: Bileşen bazında momentum korunumu, çözümü mekanik olarak doğru yönlendirir.

6.3. Dönel sistem: volan (flywheel)

Volan: M=20 kg, R=0.25 m, halka gibi I≈M R²=1.25 kg·m².

Motor torku 15 N·m ile hızlandırıyor.

α = τ/I = 15/1.25 = 12 rad/s².

0’dan 3000 dev/dak (ω≈314 rad/s) için süre t = ω/α ≈ 26.2 s.

Depolanan dönel enerji E = ½ I ω² ≈ 0.5·1.25·314² ≈ 61.6 kJ.

Güç profili: İvmelenme sırasında P = τ ω; ω arttıkça anlık güç artar.

7) SIK KARIŞANLAR – HIZLI DÜZELTMELER

• kg·m/s momentum; N·s ile eşdeğer.
• N·m tork; J enerji. Aynı boyut, farklı fiziksel anlam.
• Merkezcil kuvvet iş yapmaz (hıza dik); hızın büyüklüğü değil, yönü değişir.
• e (yenilenme katsayısı) malzeme/temasla ilgilidir; 1 (tam esnek) ile 0 (tam yapışma) arasında.
• Eylemsizlik momenti kütlenin dağılımına bağlıdır; “ne kadar uzakta, o kadar zor döner.”